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Binärzahlen
"Computer funktionieren mit Nullen und Einsen." Das habe ich noch so im Ohr, als mein großer Bruder mir damals versuchte zu erklären wie PCs funktionieren. Naja, damals war ich noch keine 10 Jahre und was juckte mich das schon. Ich wollte SPIELEN!
Heute spiele ich immer noch. Aber nicht mehr so wie früher. Eher spiele ich heute mit den "Nullen" und "Einsen" rum. Beispielsweise, wenn ich Subnetting bzw. Supernetting mache. Man wird damit spielen müssen, wenn man FiSi werden will. Darum beschäftigen wir uns jetzt mal damit und ich erkläre wie man von Dezimalzahlen zu Binärzahlen kommt.
Anders als bei Dezimalzahlen haben Binärzahlen keine Basis von 10 (0 - 9 Zahlen) sondern die Basis 2. Das Binärsystem kennt nur 0 und 1. Sonst nichts. Will ich eine Eins darstellen, dann ist das einfach, denn ich schreibe einfach eine 1. Bei einer zwei wird das schon schwieriger, denn wir dürfen ja nicht einfach eine 2 schreiben. Wie geht das nun? Lasst uns an die Grundschule erinnern. Wie hieß es damals immer so schön?
5 Einer, 3 Zehner und 2 Hunderter. Schreiben wir also mal auf:
| Hunderter, | Zehner, | Einer |
| 2 | 3 | 5 |
So stellen wir also die Zahl 235 dar. Je Spalte von rechts nach links steigt die Potenz an. Ganz rechts ist 10^0 (ausgesprochen 10 hoch 0).
Das Wissen transpotieren wir nun auf das Binärsystem und gehen wie folgt vor: Wir machen uns eine Tabelle mit Potenzen und anhand einiger Beispiele verdeutlicht sich wie das Binärsystem zu verstehen ist. Grundsätzlich gilt, dass eine 1 ein gesetztes Bit ist und eine 0 bedeutet, dass das Bit nicht gesetzt ist. Da wo eine 1 steht ist die Zahl zu nehmen und ggf. mit weiteren Zahlen zu addieren. Ich mach das mal in drei Beispielen.
| Potenz | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| Wert | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Zeile 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Zeile 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Zeile 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Bei der Schreibweise ist zu beachten, dass alle "Nullen", die mittendrin sind, mitgeschrieben werden müssen. Führende Nullen kann man weglassen.
Benötigen wir größere Zahlen, dann müssen wir mehr Zweierpotenzen hinzufügen.
Nun haben wir also Binärzahlen, aber wir wollen das natürlich auch wieder zurück rechnen können. Einfachheithalber schauen wir uns die 22 in Binärform an: 10110
Nehmen wir uns die Tabelle von oben zur Hand und addieren einfach die Zahlen, die wir mit einer 1 "aktivieren". Das bedeutet im Klartext: 16 + 4 + 2 = 22
FERTIG!
Große Zahlen wie beispielsweise 1.624 oder noch größer bekommt man raus, wenn man die Tabelle entsprechend um Zweierpotenzen erweitert.
Zweierkomplement - negative Binärzahl
Ansich schon ganz prima. Aber das reicht noch nicht ganz. Wir müssen noch lernen Binärzahlen zu addieren und subtrahieren. Nun ist die Sache die, dass wir nicht richtig "Minusrechnen" können. Wir können nicht sagen "ich habe 100 Euro und ziehe davon 20 Euro ab".
Wir müssen die 20 Euro als Minuswert darstellen und dann die 100 Euro drauflegen. Kurzes Beispiel im Dezimalbereich, um es zu verdeutlichen:
|
100
- 20
----
80
|
Im Binärsystem können wir aber nicht subtrahieren. Desshalb müssen wir die 20 Euro als Negativwert darstellen. Also drehen wir unsere Aussage etwas und sagen "ich habe -20 Euro (Schulden) und bekomme 100 Euro geschenkt". Im Ergebnis also das Gleiche - wir haben also jetzt 80 Euro.
Fangen wir damit an und bilden eine negative Zahl. Wir rechnen zunächst eine Zahl in eine Binärzahl um.
Nehmen wir uns die Zahl 11. Sie besteht aus 1011 (8, 2 und 1). Wer jetzt schon ein Problem damit hat, der scrollt mal hoch und liest sich zunächst durch wie Binärzahlen gebildet werden.
Also weiter -> Wir haben die Zahl 11 und sie ist binär 1011. Setzen wir noch ein weiteres Byte davor (4 Bit) davor, damit die Zahl nicht so kurz ausschaut, also: 0000 1011
Kleiner Witz am Rande:
